Datum: 10. Juli 2009
Autor: Frank Dreßler, frank.dressler@rub.de

Wissenswertes zum Zweierkomplement und der Invertierung von Bitketten
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     <> Voraussetzung:  -x =  ~x + 1    V1 <>
     <>             <=> ~x = -(x + 1)   V2 <>
     <>------------------------------------<>
     <> Wissenswerte Zusammenhänge:        <>
     <>      1.      -~x = x + 1           <>
     <>      2.      ~-x = x - 1           <>
     <>      3. ~(x + y) = ~x + ~y + 1     <>
     <>      4.    x - y = ~y - ~x         <>
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     Anmerkung zur Voraussetzung:
        Die Voraussetzung bedeutet nur, dass negative Zahlen wie -x als das
	Zweierkomplement von x dargestellt werden. Dies ist bei allen mir
	bekannten Rechnern und Sprachen der Fall. Die Ausdrücke funktionieren
	daher auch in vielen Sprachen, beispielsweise C(++), Javascript, Java,
	Perl, ...

     Beweise:
           1. -~x =(V1)= 1 + ~(~x) = x + 1
           2. Variante 1: -~~-x = --x = x
              Variante 2: ~-x = ~(1 + ~x) =(3)= ~1 + ~(~x) + 1 = -2+1+x = x - 1
              Variante 3: -~x =  x + 1
                      <=>  ~x = -x - 1  (x mit -x ersetzen)
                      <=> ~-x =  x - 1
           3. ~(a+b) =(V2)= -(a+b+1) = -a -b -1 =(V1)= ~a+1 + ~b+1 - 1 = ~a + ~b + 1
           4. a - b = a - b + 1 - 1 = a+1 - (b+1) =(1)= -~a - -~b = -~a + ~b = ~b - ~a

     Beispiele:
           zu 1: -~3 ist 4
           zu 2: ~-3 ist 2
           zu 1: -~-~-~-~-~-~-~-~-~-~0 ist 10
           zu 3: ~10 ist ~0 + ~10 + 1
                     ist ~1 + ~9  + 1
                     ist ~5 + ~5  + 1
           zu 4: 21 - 7 = 24 - 10