Geraden mit minimalem geometrischen Abstand zu Eckpunktes eines gleichseitigen Dreiecks in L^p-Norm
Author: Annett Püttmann

Die Punkte A, B und C bilden ein gleichseitiges Dreieck. Wir betrachten die Abstände d_A, d_B und d_C der Punkte A, B und C zu einer Geraden und die Funktion (d_A)^p+(d_B)^p+(d_C)^p für 1≤p<∞ und max(d_A,d_B,d_C) für p=∞. Für festes 1≤p≤∞ ist ein globales Minimum dieser Funktion eine Gerade mit minimalem geometrischen Abstand zur Punktmenge {A,B,C} bezüglich der L^p-Norm. Diese optimalen Geraden werden im Fenster dargestellt.

Wählen Sie einen Wert oder ein Intervall für p aus. 
Für 1≤p<4/3 (Schieberegler p1, rote Geraden), 4/3<p<2 (ocker), p>2 (Schieberegler p2, hellblaue Geraden) und p=∞ (blau) gibt es jeweils drei optimale Geraden. Für p=4/3 (orange) und p=2 (grüne) existieren eindimensionale Familien optimaler Geraden, die beide durch den Schieberegler Anstieg parametrisiert werden.

1≤p<4/3

p>2

p=4/3

4/3<p<2

p=2

p=∞

p1 = 1.33 (slider from 1 to 1.33, step 0.01)
m: p1 > 1
Winkel = 0 (slider from 0 to 30, step 2)
eta: Winkel / 30
B = (-0.5, 0)
A = (0.5, 0)
C = (0, 0.8660254037844386)
D = (0, 0.58)
α1: 1 / ((m * p1) - 1)
h1: (m * sqrt(3) / ((2 * (2^(α1) + 1))))
E1: (0, h1)
F: (0.5, h1)
a = Line(E1, F)
M = (0, 0.28867513459481287)
a'_1 = Rotate(a, 119.99999999999999°, M)
a' = Rotate(a, 240.00000000000003°, M)
c = false
d = true
p2 = 18.6 (slider from 2.1 to 20, step 0.1)
α2: 1 / (p2 - 1)
h2: sqrt(3) / ((2 * (2^(α2) + 1)))
E2: (0, h2)
F2: (0.5, h2)
b = Line(E2, F2)
b' = Rotate(b, 119.99999999999999°, M)
b'' = Rotate(b', 119.99999999999999°, M)
e = false
h3: (sqrt(3) * (9 - 24 / (3 + eta^(2))) / 18)
E3: (0, h3)
F3: (0.5, h3 + (sqrt(3) * eta / 6))
f = Line(E3, F3)
f'_1 = Rotate(f, 119.99999999999999°, M)
f''_1 = Rotate(f'_1, 119.99999999999999°, M)
f' = Mirror(f, yAxis)
f'' = Rotate(f', 119.99999999999999°, M)
f''' = Rotate(f'', 119.99999999999999°, M)
g = false
h = true
l = Line(B, M)
l' = Rotate(l, 119.99999999999999°, M)
l'' = Rotate(l', 119.99999999999999°, M)
F4: (0.5, (sqrt(3) * (1 + eta) / 6))
k = Line(M, F4)
k'_1 = Rotate(k, 119.99999999999999°, M)
k''_1 = Rotate(k'_1, 119.99999999999999°, M)
k' = Mirror(k, yAxis)
k'' = Rotate(k', 119.99999999999999°, M)
k''' = Rotate(k'', 119.99999999999999°, M)
i = true
E = (0, 0.43)
j = Line(E, a)
j' = Rotate(j, 119.99999999999999°, M)
j'' = Rotate(j', 119.99999999999999°, M)