F1: LIF-Spektroskopie von Iodmolekülen

Morse-Oszillator

Der Verlauf der potentiellen Energie V(R) eines kovalent bindenden elektronischen Zustands kann näherungsweise durch die Morsefunktion dargestellt werden:

Die Parameter R_e und D_e entsprechen dem Gleichgewichtsabstand bzw. der Dissoziationsenergie des Moleküls im gegebenen elektronischen Zustand.
Ein Vorteil des Morse-Oszillators ist, daß die Schrödingergleichung elementar lösbar ist, wenn man für die potentielle Energie Gleichung 1 einsetzt. Die aus der Lösung der Schrödingergleichung erhaltenen Energieeigenwerte der Schwingung gehorchen Gleichung 2:

$\tilde{\nu}_e$ ist die Wellenzahl der Grundschwingung, x_e die Anharmonizitätskonstante. Die Schwingungsquantenzahl ${\em v}$ kann die Werte 0, 1, 2, 3, ... annehmen.
(Die Vibrationsenergien eines realen Moleküls kann man durch weitere Parameter y_e, z_e etc. beliebig genau annähern: die nächsten Terme heißen + $\tilde{\nu}_e$ y_e ( ${\em v}$ + 1/2)³, - $\tilde{\nu}_e$ z_e ( ${\em v}$ + 1/2)⁴ usw.)

Der Zusammenhang zwischen den spektroskopischen Konstanten $\tilde{\nu}_e$ und x_e und den Parametern aus Gleichung 1 ist:
Gleichung 3

wobei $\mu$ die reduzierte Masse des Moleküls ist.
Bei der kleinstmöglichen Quantenzahl ${\em v}$ =0 ist die Energie ungleich Null, es gibt also eine Nullpunktsenergie:

Wenn man die spektroskopischen Konstanten kennt, kann man mit ihnen einen Wert für die Dissoziationsenergie berechnen:

Gleichung 5

D_e ist die "spektroskopische" Dissoziationsenergie, während die Differenz zwischen der Dissoziationsgrenze und dem untersten Vibrationsniveau ${\em v}$ =0 als D₀ oder "chemische" Dissoziationsenergie bezeichnet wird:

Gleichung 6

In Abbildung 1 sind die Potentialkurve V(R) und die Energieniveaus E( ${\em v}$ ) eines zweiatomigen Moleküls aufgetragen.

Abbildung 1

Fragen:

	Wie lautet die Schrödingergleichung für den Morse-Oszillator?
	Wie wirkt sich der Parameter $\beta$ auf das Aussehen von V(R)* aus?*
	Welche Einheit hat $\beta$ ?
	Welchen Grund könnte es haben, daß D_e* als "spektroskopische", D₀ als "chemische" Dissoziationsenergie bezeichnet wird?*
	Zu welchem zweiatomigen Molekül gehört die in Abbildung 1 dargestellte Potentialkurve vermutlich (Tip: man beachte R_e)?
	Welches Molekül läßt sich besser durch ein Morsepotential beschreiben: I₂ oder IF (beide im elektronischen Grundzustand)?
	Wieviele Vibrationsniveaus unterhalb der Dissoziationsgrenze kann es geben?
	Man vergleiche den harmonischen Oszillator mit dem Morse-Oszillator (beliebte Frage im Antestat / in Klausuren).

Literatur:

Lessinger: "Morse Oscillators, Birge-Sponer Extrapolation, and the Electronic Absorption Spectrum of I₂"

Kapitel 11.5: "The vibrations of molecules" aus Atkins

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