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Mathematisches Institut der Universität Basel
Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 15

Abgabetermin: 7. April 2000

1.

Zeige: Das Legendre-Polynom P_n (siehe Aufgabenblatt 13) genügt der Differentialgleichung

2.

Man untersuche die durch f(x)= x³+ax²+bx gegebene Funktion auf lokale Extrema in Abhängigkeit von den Parametern .

3.

Man bestimme eine Rekursionsformal für die Integrale .

4.

Unter Verwendung von Aufgabe 6* von Blatt 13 zeige man: Es gibt eine auf ganz unendlich oft differenzierbare Funktion f mit

5.

Sei . Zeige: Für alle und gilt .

6.

Sei eine komplexe Reihe, die nicht absolut konvergent ist.

Zeige: Es gibt eine divergente Umordnung, also eine Bijektion sodass divergiert.

7.

Sei stetig und , sodass f in allen Punkten differenzierbar ist. Man nehme darüberhinaus an, dass existiert.

Zeige: Dann ist f in c differenzierbar und es gilt