Diese Notizen sind natürlich nicht einmal ansatzweise äquivalent zu einem Vorlesungsskript.
Der Sinn der Veröffentlichung hier ist ein anderer:
Wer immer daran interessiert sein sollte, kann hier nachschlagen, welche Themen ich tatsächlich in welchem Tempo durchgenommen habe.
Und wer immer einen Kommentar dazu loswerden will, ist herzlich eingeladen, mir eine e-mail an jwinkel@member.ams.org zu senden.
Die Aufgabenblätter sind ebenfalls im WWW zu finden.
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Ausserdem sind leider aus Zeitgründen einige der in Forster I behandelten Themen nicht durchgenommen worden, nälich Fourier-Reihen und die Gamma-Funktion.
Tue, 19 Oct 1999
Grundlagen, Mengenlehre, Notationen.
Russelsche Antinomie diskutiert.
Elementare Notationen: Mengen, Durchschnitt, Komplement u.s.w.,
Abbildungen, injektiv, surjektiv, bijektiv ..
Zwei Mengen heissen gleichmaechtig, falls es eine Bijektion gibt.
Satz:
Eine Menge und ihre Potenzmenge sind nicht gleichmaechtig.
Ankuendigung: Reelle Zahlen werden axiomatisch eingefuehrt werden.
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Fri, 22 Oct 1999
Heute habe ich die Koerperaxiome diskutiert,
den Koerper mit zwei Elementen als Beispiel fuer ungewoehnliche
Koerper erwaehnt, vor allem aber Rechenregeln aus den Koerperaxiomen
hergeleitet, im wesentlichen wie in Forster.
Am Ende "Angeordnete Koerper" angekuendigt, das wird dann naechstes
Mal diskutiert.
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Tue, 26 Oct 1999
Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen,
z.B. Quadrate sind >=0, Definition und elementare Eigenschaften
des Absolutbetrag (Dreiecksungleichung), Intervall-Schreibweise:
[a,b] und [a,b[.
Obere Schranken und Suprema, Eindeutigkeit des Supremums,
Def: Angeordneter Koerper heisst "vollstaendig", falls zu jeder
Menge mit einer oberen Schranke auch ein Supremum existiert.
Ohne Beweis zitiert:
Es gibt (bis auf Isomorphie) nur einen vollstaendig angeordneten
Koerper.
Definition: Diesen Koerper nennen wir |R, Koerper der reellen Zahlen.
Angekuendigt:
Mit der Vollstaendigkeit kann man die Existenz von Quadratwurzeln aus
positiven Zaheln beweisen.
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Fri, 29 Oct 1999
Tue, 02 Nov 1999
Themen der Vorlesung freitag und heute:
In einem vollst. angeordneten Koerper existieren
Quadratwurzeln aus positiven Zahlen.
In |Q existiert keine Quadratwurzel aus 2.
|N eingefuehrt: So wie in Walter definiert als Durchschnitt aller
induktiven Teilmengen von |R.
Elementare Eigenschaften von |N bewiesen,
u.a. es gibt keine natuerliche Zahl zwischen n und n+1,
Satz:
Jede Teilmenge von |N enthaelt ein Minimum.
Satz:
Die Menge der natuerlichen Zahlen ist unbeschraenkt.
Folgerung (archimedisches Prinzip):
Fuer jede reelle Zahl x>0 und y existiert eine natuerliche Zahl n mit nx>y.
Rekursive Definitionen.
Fakultaet,
( n )
( k )
Summen- und Produktzeichen. Kombinatorische Interpretation der
Fakultaet und (n ueber k), Chancen fuer 6 Richtige im Lotto.
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Fri, 05 Nov 1999
( n ) ( n-1 ) ( n-1 )
( ) =( ) + ( )
( k ) ( k ) ( k-1 )
Formalismus der vollstaendigen Induktion.
Binomischer Lehrsatz.
Bernouillische Ungleichung.
Zwischen zwei reelen Zahlen gibt es stets eine rationale.
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Tue, 09 Nov 1999
Komplexe Zahlen. Definition, Addition, Multiplikation,
Absolutbetrag, bilden Koerper, der nicht angeordnet werden kann.
Real-u.Imaginaerteil, komplexe Konjugation.
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Fri, 12 Nov 1999
Folgen, Def, Bspe. monoton steigend/fallend, beschraenkt,
konvergent. Konvergenz u Monotonie von Beispielen diskutiert.
Satz: Grenzwert ist eindeutig. Konvergente Folgen sind
beschraenkt. Summe und Produkt von konvergenten Folgen.
Satz lim a_n=0 und b_n beschraenkt => lim (b_na_n)=0.
Alles aehnlich wie in Forster.
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Tue, 16 Nov 1999
Quotienten von konvergenten Folgen,
beschraenkte monotone Folgen sind konvergent, \lim=\infty
definiert ("bestimmte Divergenz", "uneigentlicher Grenzwert"),
Satz: x_n\le y_n\le z_n und \lim x_n=c=\lim z_n impliziert \lim y_n=c.
Begriff der Teilfolge definiert. Teilfolgen einer konvergenten Folge
konvergieren gegen denselben Grenzwert, aber Teilfolgen einer
divergenten Folge koennen konvergent sein (Bsp.: (-1)^k diskutiert).
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Fri, 19 Nov 1999
Cauchyfolgen, Definition, Konvergenz
Bolzano-Weierstrass via Intervallschachtelung.
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Tue, 23 Nov 1999
Fuer a,c>0 konvergiert die durch x_1=c,
x_{n+1}= ( x_n + a/x_n)/2
definierte Folge
gegen die Quadratwurzel aus a.
Die Folge a_n=(1+1/n)^n ist monoton und beschraenkt
und deshalb konvergent.
Banachscher Fixpunktsatz:
Sei f:R -> R eine Abbildung, und 01.
Anwendung auf Exponentialreihe:
\sum x^k/k! konvergiert fuer alle x absolut.
Dann gezeigt, dass \sum 1/k!=\lim (1+ 1/n)^n
Anhand von \sum (-1)^k 1/k
gezeigt, dass beliebige konvergente Reihen nicht umgeordnet werden
duerfen (= nicht notwendigerweise unbedingt konvergieren).
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Thu, 9 Dec 1999
Man darf absolut konvergente Reihen umordnen, danach
Cauchyprodukt diskutiert, angewandt auf Exponentialreihe,
um exp(x+y)=exp(x)exp(y) herzuleiten.
Daraus dann einige Folgerungen: 0 < exp(x) fuer alle reellen x,
exp streng monoton steigend, exp(x) \ne 0.
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Fri, 10 Dec 1999
Stetigkeit von Funktionen definiert:
stetig, wenn aus lim x_n=x stets lim f(x_n)=f(x) folgt,
Polynome eingefuhert und ihre Stetigkeit per vollst. Induktion
ueber den Grad des Polynoms bewiesen (zuvor gezeigt, dass mit f und g
auch f+g, fg und f/g stetig)
Dann Stetigkeit der Exponentialfunktion,
Beispiele fuer unstetige Funktionen:
f(x)= 0 falls x rational, 1 sonst ist nirgendwo stetig.
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Fri, 17 Dec 1999
Stetige Funktionen nehmen auf abgeschlossenen beschraenkten
Intervallen Minimum und Maximum an.
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Tue, 04 Jan 2000
\epsilon-\delta-Definition der Stetigkeit,
Satz: aequivalent zu der ersten Definition ( lim x_n=x => lim f(x_n)=f(x) ).
Anwendung auf f(x)= x/3, Quadratwurzel, x^2.
Zwischenwertsatz:
f:[a,b]\to\R stetig, f(a)<0, f(b)>0 ===> es gibt ein c mit f(c)=0.
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Fri, 07 Jan 2000
einige Corollare aus dem Zwischenwertsatz.
Satz:
f;[a,b] \to\R streng monoton => bijektiv aufs Bild.
Umkehrabbildungen existieren genau dann wenn bijektiv.
Satz:
f streng monoton => f^{-1} existiert und ist stetig.
Anwendung:
Definition des natuerlichen Logarithmus als Umkehrfkt von exp.
Elementare Eigenschaften des Logarithmus.
Allgemeine Potenzfkt: a^x=exp(x log a).
\lim n-te Wurzel aus x= 1.
Fuer die Aufgaben: Definition von sin und cos via exp
(cos(x)= 1/2 ( e^ix + e^-ix )
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Tue, 11 Jan 2000
Satz:
F:\R \to \R stetig, F(x+y)=F(x)F(y)
fuer alle x,y => F=0 oder F=a^x fuer a>0.
Trigonometrische Funktionen.
Definition (via exp), Motivation & Zusammenhang mit
elementar-geometrischer Definition via Drehungen.
Elementare Eigenschaften von sin, cos (Additionstheoreme),
Potenzreihenentwicklung von sin und cos.
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Fri, 14 Jan 2000
Cos hat genau eine Nullstelle im Intervall [0,2].
Diese Nullstelle wird als \pi/2 definiert.
weitere elementare Eigenschaften von sin,cos,
zB cos(t+pi/2)=-sin t.
Nullstellen von sin,cos, Periodizitaet.
Darstellung komplexer Zahlen in Polarkoordinaten,
n-te Einheitswurzeln.
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Tue, 18 Jan 2000
Ableitung: Definition, Motivation, Beispiele,
diffb => stetig,
Summen- Produkt- u Quotientenregel
Ableitung von x^n.
Lemma:
lim_{z\to 0} ( exp(z) -1)/z =0
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Fri, 21 Jan 2000
Ableitungen von exp, sin, cos.
Ableitungsregel fuer Umkehrfunktion, damit log'(x)=1/x.
Kettenregel, Anwendung: Ableitung von x^s fuer s reell, x>0.
Lokales Extremum im Inneren => f'(x)=0.
Satz von Rolle: f auf [a,b] stetig, im Inneren diffba, f(a)=f(b)
=> es gibt ein c zwischen a und b mit f'(c)=0.
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Tue, 25 Jan 2000
Mittelwertsatz, inkl Verallgemeinerung auf
f'(c)/g'(c)= f(a)-f(b)/g(a)-g(b)
f'=0 <=> konstant
f' >=0 <=> f monoton steigend
Satz: f mit f=f' und f(0)=1 impliziert f=exp.
Regel von l'Hopital
Hoehere Ableitungen definiert,
konvex, konkav.
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Tue, 01 Feb 2000
gleichmaessige Konvergenz, Normen auf Vektorraeumen,
sup-Norm auf Raum der beschraenkten Funktionen,
lim f_n=f bzgl sup-Norm, f_n stetig => f stetig.
Treppenfunktionen.
Formuliert, aber noch nicht bewiesen: Jede stetige Funktion auf [a,b]
ist lim von Treppenfunktionen.
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Fri, 04 Feb 2000
Bewiesen: Stetige Funktionen auf beschraenkten abgeschlossenen Intervallen
sind gleichmaessig stetig und durch Treppenfunktionen approximierbar.
Def.: regelfunktionen= durch Treppenfunktionen approximierbare Fktn.
Integrale fuer Treppenfunktionen definiert und elementare Eigenschaften
nachgewiesen. Dadurch: Integrale fuer Regelfunktionen.
Erstes Beispiel: \int_0^1 xdx explizit durch Treppenfunktionen ausgerechnet.
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Tue, 08 Feb 2000
Allg. Eigenschaften des Integrals: Monotonie, linear, beschraenkt.
\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c.
Definition von \int_a^b fuer a>b und a=b.
Satz: f stetig, dann existiert ein c in [a,b] sodass \int f(x)dx= (b-a)f(c)
Satz: f stetig, F(x)=\int^x f(t) dt => F(z)=f(z).
Stammfunktion, eindeutig bis auf Konstante.
Anwendung: Integration von exp und Polynomen.
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Fri, 11 Feb 2000
Partielle Integration, Substitution, Partialbruchzerlegung.
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