Diese Notizen sind natürlich nicht einmal ansatzweise äquivalent zu einem Vorlesungsskript.
Der Sinn der Veröffentlichung hier ist ein anderer:
Wer immer daran interessiert sein sollte, kann hier nachschlagen, welche Themen ich tatsächlich in welchem Tempo durchgenommen habe.
Und wer immer einen Kommentar dazu loswerden will, ist herzlich eingeladen, mir eine e-mail an jwinkel@member.ams.org zu senden.
Die Aufgabenblätter sind ebenfalls im WWW zu finden.
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Date: Tue, 04 Apr 2000
Funktionenfolgen: Aus gleichmaessiger Konvergenz f_n \to f folgt
\lim \int f_n = \int f.
Ableitungen von Funktionenfolgen: Vorsicht ist geboten,
Beispiel f_n(x)=1/n sin(nx) diskutiert.
Satz:
Sei f_n eine Folge in C^1(I), f'_n\to g gleichm., \lim f_n(p)=c,
dann folgt:
f_n\to f gleichmaessig mit f'=g.
Satz(Weierstrass):
Sei f_n eine Folge von beschraenkten
Funktionen mit \sum_k || f_k|| <\infty
Dann gilt: \sum_k f_k konvergiert gleichmaessig.
Potenzreihen definiert.
Satz:
Sei \sum a_k x^k eine Potenzreihe, p eine komplexe Zahl sodass
\sum a_k p^k konvergiert, \rho eine reelle Zahl mit \rho < |p| und
K=\{ z : |z|\le\rho\}.
Dann gilt:
Sowohl \sum a_kx^k als auch \sum a_kkx^{k-1}
konvergieren gleichmaessig auf K.
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Date: Fri, 07 Apr 2000
Def. des Konvergenzradius
Satz von Hadamard:
Fuer den Konvergenzradius r gilt:
1/r = limsup n-te Wurzel aus |a_n|
Cor :
\sum a_k und \sum |a_k|
haben denselben Konvergenzradius
Satz:
Wenn \lim |a_n/ a_{n+1}| existiert,
dann ist dies der Konvergenzradius.
Summe, Produkte, Komposition von Potenzreihen
Beispiele:
log(1+x) Potenzreihenentwicklung durch Integration der Reihe von 1/(1+x)
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Date: Tue, 11 Apr 2000
Fuer Potenzreihen f(x)=\sum_k a_k x^k gilt:
f^(n)(0)= n!a_n.
Cor.: Zwei Potenzreihen, die dieselbe Funktion definieren, muessen
gleich sein.
Anwendung. \sqrt{1+x}= \sum a_k x^k erfuellt (\sum a_k x^k) ^2 = 1+x
daraus durch Koeffizientenvergleich erste Terme bestimmt.
Identitaetssatz:
Wenn es eine Folge x_n mit \lim x_n=0 und f(x_n)=g(x_n) gibt,
dann sind die Potenzreihen gleich.
Cor.
f(x)= 0 fuer x<0 und = e^{-1/x} fuer x>0 nicht durch Potenzreihe
darstellbar.
Def. Taylorreihe, Restglied R_{n+1}(x).
Satz:
R_{n+1}(x)= \frac{1}{n!}\int_0^x f^{(n)}(t) (x-t)^{n} dt
Satz:
Jede Loesung der DGL f=f' hat die Form f(x)=Ce^x.
Bew:
f=f' => alle Ableitungen gleich f => lim R_{n+1}(x)=0
=> Taylorreihe konvergiert gegen f ; f= f'= f''
=> a_k=C/k! mit C=f(0).
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Date: Fri, 14 Apr 2000
Wenn f^{(n+1)}=0 fuer alle x, dann ist f ein Polynom vom Grad n.
Notation: C^k, C^\infty, C^\omega.
Potenzreihen, Taylorreihen mit beliebigem Entwicklungspunkt.
Satz:
Wenn f=\sum a_k x^k Potenzreihe mit Konvergenzradius R und z mit |z| abgeschlossen und beschraenkt.
K kompakt und A abgeschlossen => Durchscnitt von A und K ist kompakt.
Satz:
Quader im R^n sind kompakt.
Satz: Fuer eine Teilmenge A des R^n gilt:
A ist genau dann kompakt wenn abgeschlossen u beschraenkt
Satz: Jede Folge in einem kompakten Raum hat Haeufungspunkt.
Beispiel: V = Raum der beschraenkten Abb. von |N nach |R versehen
mit sup-Norm, abgeschlossener Einheitsball ist dann abgeschl u beschraenkt
aber \delta_n(m) = 1 fuer n=m und 0 sonst definiert Folge
ohne Haeufungspunkt, daher nicht kompakt.
K kompakt, f stetig => f(K) kompakt.
Daraus hergeleitet:
f: K \to \R stetig, K kompakt => es gibt p,q in K
sodass f(p) <= f(x) <= f(q) fuer alle x in K.
Folgerung:
Sei K kompakt in metr. Raum, p nicht in K, dann gibt es ein r>0,
sodass d(x,p)>=r fuer alle x in K.
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Date: Tue, 16 May 2000
Kurven im |R^n.
Geometrische und physikalische Interpretation.
Definition der Bogenlänge.
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Date: Fri, 19 May 2000
Reparametrisierung von Kurven, Laenge bleibt invariant.
Parametrisierung nach Bogenlaenge.
Raum aller stetigen Kurven von einem gegebenen Intervall
in R^n ist vollstaendiger Vektorraum bzgl. sup-Norm,
Peanokurve.
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Date: Tue: 22 May 2000
Krümmungsradius von Kurven in |R^2,
begleitendes Dreibein für Kurven in |R^3.
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Date: Fri, 26 May 2000
Wegintegrale eines Vektorfelds entlang einer
diffbaren Kurve. Vektorfelder sind definiert als Abbildungen
von V=R^n nach V=R^n.
Das Wegintegral ist unabhängig von Parametrisierung der Kurve,
und induziert eine stetige
lineare Abbildung von Raum der stetigen Vektorfelder
auf Kurve nach |R.
Angefangen mit totaler Differenzierbarkeit.
Def.
f: V \to W diffb in p
\iff
es gibt stetige lineare Abb. Df:V\to W und Abb. h:V\to W
mit \lim_{v\to 0}h(v)=0 und
f(x)-f(p) = Df(x-p) + ||x-p|| h(x-p).
Gezeigt: Stimmt fuer V=W=|R mit alter Definition ueberein,
Df ist eindeutig bestimmt, diffb => stetig.
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Date: Tue, 30 May 2000
Totales Differential ausfuehrlich diskutiert,
an Beispiel f:|R \times V \to V
f(t,v)=tv.
Kettenregel-Satz formuliert.
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Date: Tue, 06 Jun 2000
Kettenregel fuer Abbildungen zwischen Vektorraeumen,
F:R \to R^n genau dann diffb wenn all f_i diffbar.
Partielle Ableitungen.
Beispiel:
f(x,y)= xy/(x^2+y^2)^2 ist partiell diffbar, aber nicht einmal
stetig.
Satz:
Wenn alle partiellen Ableitungen in einer offenen Umgebung existieren und
stetig sind, dann ist die Abbildung diffbar.
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Date: Fri, 09 Jun 2000
Gradienten einer Funktion auf R^n definiert,
durch Df(v)= < grad f, v>,
zeigt die Richtung des staerksten Anstiegs,
senkrecht auf Niveaumengen, Wegintegrals eines
Gradientenvektorfeld haengt nur von Anfangs- und Endpunkt
ab ( \int_\gamma grad f ds = f(\gamma(a)) - f(\gamma(b)) )
ist die Ableitung von f(\gamma( )).
Definition von Divergenz und Rotation.
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Date: Tue, 13 Jun 2000
Wenn die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung stetig
sind, ist die Reihenfolge egal : f_{xy} = f_{yx}.
Noch einiges zu grad, rot, div, geometrisch-physikalische
Interpretation, rot grad = 0 = div rot.
Ohne Beweis:
Fuer konvexe Gebiete gilt: V= grad f \exists f genau dann wenn
rot V=0.
Mittelwertsatz:
Fuer f:\R^n \to \R , x,v \in\R^n gilt:
f(x+v) = f(x) + < grad f (x+\theta v) , v>
fuer ein \theta in [0,1].
Definition der Hesse-Matrix, symm., falls 2-mal stetig diffb.
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Date: Fri, 16 Jun 2000
Satz:
f 2-mal stetig diffb
Hesse-Matrix definit, grad=0 => lokales Extremum
lokales Extremum => grad=0 und Hesse-Matrix semidefinit.
Beispiele dazu.
Dann angefangen:
Satz:
f:\R^n \to \R^n, Df_p invertierbar => f lokal invertierbar.
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Date: Tue, 20 Jun 2000
Satz:
f:\R^n \to \R^n, det Df \ne 0 => f lokal injektiv.
Beispiele dazu.
Angekuendigt: det Df \ne 0 => f lokal surjektiv.
Zur Vorbereitung:
Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen eingefuehrt,
Fuer invertierbare Matrizen gilt : M \to M^{-1} stetig, und wenn
Df stetig, dann gibt es fuer jedes p und jedes epsilon>0 ein r>0 sodass
||f(x)-f(y)-Df_p(x-y)|| <=\epsilon ||x-y|| fuer alle
x,y\in B_r(p).
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Date: Fri, 23 Jun 2000
Satz:
Sei f:|R^n \to \R^n stetig diffbar, p \in \R^n, det Df _p\ne 0.
Dann gibt es offene Umgebungen W, U von p und f(p), sodass
die Einschraenkung von f auf W einen Diffeomorphismus
zwischen W und U liefert.
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Date: Tue, 27 Jun 2000
Satz ueber lokale Extrema mit Nebenbedingung.
Beispiel:
Sei A reell-symmetrische Matrix, h(x)=x^tAx. Dann gilt: Wenn die
Einschraenkung von h auf die Einheitssphaere S in p ein lokales
Extremum hat, dann muss p ein Eigenvektor von A sein.
Def. Untermannigfaltigkeiten des R^n
Satz:
Sei S={f_1=..=f_k=0}, grad f_1,.. grad f_k lin. unabh.
Dann gilt: Wenn h eingeschraenkt auf S ein lokales Extremum in p
besitzt, so gibt es Zahlen L_1,..,L_k sodass
grad h = \sum_i L_i grad f_i in p.
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Date: Fri, 30 Jun 2000
nochmal Beispiele zu Extrema unter Nebenbedingungen.
Satz ueber implizite Funktionen.
Satz:
Sei f stetig auf [a,b] \times [c,d].
Dann ist die durch g(y)(x)=f(x,y) gegebene Abb.
g:[c,d] \to C[a,b] stetig.
Folgerung: y \mapsto \int_a^b f(x,y) dx
ist stetig und insbesondere integrierbar.
Folgerung: Fuer f stetig auf [a,b] \times [c,d] existiert
das Doppelintegral \int_c^d ( \int_a^b f(x,y) dx ) dy.
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Date: Tue, 4 July
Satz:
f stetig auf [a,b] x [c,d], in der zweiten Variable stetig partiell
differenzierbar => Die durch F(y)=\int_a^b f(x,y) dx definierte
Funktion ist stetig differenzierbar mit F'(y)= \int_a^b f_y(x,y) dx
Satz: \int_a^b \int_c^d f(x,y) dy dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y) dx dy.
Schnellkurs:
Mehrdimensionale Integration: Berechnung von Volumina, Flächeninhalten.
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Date: Tue, 7 July
Mehrdimensionale Integration: Knapper Überblick über die Integralsätze
von Stokes etc.
Physikalisch-geometr. Interpretation von div/rot.
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